最近十年來，我花了不少工夫，在清華大學聘請了一批世界一流學者。我很高興地看到，中國的數學和基礎科學水平蒸蒸日上，有了很大發展。

今天的講座，我要說的是一件很重要的事，我始終希望能跟我的同事、學生們分享，這就是中國數學和基礎科學的前路到底該怎么走。

我們要走的是一個能夠帶領全世界數學和基礎科學走向的方向，這才算得上世界第一流。假如做學問都是跟著人家后面走，那是不能解決重要問題的。目前遇到的所謂“卡脖子”的問題，也是因為在很多重要問題上，還是跟著別人走。因此今天我想跟大家具體討論，什么是第一流的學問，特別是第一流的學問在數學領域如何產生。

何為“學”，何為“問”

首先，學問有兩個部分，一個是“學”，一個是“問”。孔子說：“學而不思則罔，思而不學則殆。”思考其實就是問。我們中國人擅長考試，學習別人提出來的各種方法和技巧，磨煉得很熟。但如果僅僅是善于答題，那么對科學的發展，貢獻并不多。目前，我們雖然不斷地獲得奧數比賽金牌，但是尚未出現一大批解決偉大數學問題的學者。因此，一定要曉得到底如何做學問，如何做一流的學問。

其次，做學問需要勤奮。沒有基本工具，只靠思考是沒有用的。孔子說“思而不學則殆”，就是說只思考不學習是遠遠不夠的。數學科學發展至今已經有兩千五百多年的歷史，先后涌現出了許多天才數學家。從歐幾里得、畢達哥拉斯、阿基米德，到后來的費馬、笛卡爾、牛頓、高斯、歐拉、拉格朗日、黎曼、希爾伯特等，一層一層將數學這幢大廈搭建得越來越高。無論我們天分多好、多么擅長思考，我們的學問、創造力都必須以他們的學問為基礎。微積分就是從阿基米德那個時候慢慢發展，最終由牛頓、萊布尼茨完成。這個過程是沒辦法跳躍的，每一步都必須建立在前人學問的基礎上。牛頓曾說：“如果說我看得比別人更遠些,那是因為我站在巨人的肩膀上。”這不是謙虛，他的工作就是在前人的基礎上做出來的。今天，我們要帶領世界學問的潮流，非將前人的學問學好不可，而在這個過程中，勤奮絕對重要。

為什么要提出問題

“尋天人樂處，拓萬古心胸”，這是清華大學求真書院的院訓。究其根源，我們所做的學問，尤其科學和數學，都是與大自然密切關聯的。我們要在追尋大自然奧秘的過程中，找到它最有意義、最有樂趣之處。假如我們不了解、不欣賞大自然的奧秘與樂趣，學問是始終做不好的，這就是“尋天人樂處”。“拓萬古心胸”則是說，做學問不只是為了拿獎、做院士，而是希望所作的學問能夠在科學史上留下重要的軌跡。《詩經》《楚辭》以及李白、杜甫的詩歌，過了上千年，讀起來還是饒有意趣，這是因為他們對大自然的美、對人世喜怒哀樂的描述，讓人至今都覺得親切自然，這就是我說的“天人樂處”。我們做的學問也要引起后代的共鳴，讓他們曉得我們今天開創的方向、發現的規律有怎樣的重要意義。

我們要考慮整個學問向前走的方向到底是什么，應該如何去認識數學的內在結構，這是許多大數學家常常思考的問題。大學問家往往會提出很多問題。如果不提出自己原創的問題，更多的是解答別人的問題，這不見得是數學和科學的真髓。我以為，重要的是要找出自己的方向。《禮記·學記》說：“善待問者如撞鐘,叩之以小者則小鳴,叩之以大者則大鳴。”這里撞的“鐘”，就是大自然和萬物運行的規律。深入的問題能夠指向大自然奧秘的深處，很快幫助我們引出其他有意義的相關問題。

由希爾伯特23問說開去

希爾伯特23問是數學歷史上一個非常重要的問題集。1900年8月8日，德國數學家希爾伯特做了題為《數學問題》的演講。他認為，從19世紀進入20世紀，數學家們提出一些重要的問題，對于推動學科進步的作用毋庸置疑。他說，一個學科能夠產生大量重要問題，才能保持活力。這23個問題，基本上可以說引領了數學界后來50年的發展。當然這23個問題不是全部由他提出的，也包括從前大數學家的問題，比如黎曼等。這些問題迄今未全部解決，但其中部分問題的解決，已經促進了數學學科的重要發展。

1978年，我在普林斯頓高等研究院組織幾何年特別會議——微分幾何論壇，帶領一批數學家、幾何學家研究幾何方面主要的方向。會議最后幾周，我徇眾要求，提出了120個幾何方面最重要的問題。雖然我提出的問題無法跟希爾伯特23問相提并論，但還是很有意義的——對當時幾何學遇到的困難主要在什么地方進行思考、指出學科向前走的方向，以及解決后會產生什么重要的結果和影響。從短期來說，一些好的問題可能不會立即產生很大影響，還需要我們花時間去消化、去思考。但是，這些問題一經提出，往往會影響到數學中某些學科的方向。我提出的120問促成了一個重要學科“幾何分析”的發端。

當時提出的這些問題，目前已經有大概三分之一被解決，大部分都是正面的解決，基本印證了猜想的方向是重要的、是正確的，很多數學家在解決這些問題方面也得到了很好的結果。

好的問題是什么樣的

好的問題讓人豁然開朗。思考這個問題本身，能發展出一系列的想法、催生出一系列文章。無論最終是否解決，僅僅推敲、研究這個問題的過程都很重要。好的問題通常是簡潔、漂亮的。解決了它，其所在領域里許多問題可能都會隨之解決，就像在長江里面有一塊巨石，將巨石挪開，水流就會頓時變得順暢。

能否聽出鼓的面積？

我要舉例的第一個問題，是關于聲音和幾何的關系。

古希臘時代，人類就認識到聲音由一些基本音組合而成。無論彈鋼琴或是打鼓，敲擊會產生不同頻率的波動，發出聲音。波動由多個基本波組合而來，對應各個基本音級。每個基本波有固定的頻率，頻率則可由鼓的譜計算得到。波動會產生很漂亮的圖形，幾何學家十分重視。

著名的幾何學家博赫納（Salomon Bochner）提過的一個問題：我們可否聽出鼓的形狀？這一問題的思想可以追溯至1910年。當時，量子力學剛萌芽，物理學家洛倫茲（H.A. Lorentz）提出：是否可以通過鼓聲的譜和頻率估算鼓的面積？希爾伯特對這個有趣的問題很感興趣，但認為它太難，有生之年，不可能看到它的解決。但過了一年后，希爾伯特的學生外爾(Hermann Weyl)就把問題解決了。外爾認為，譜越來越高，按照量子力學的觀念，即譜的觀念，可以推測到局部的幾何變化，從而推導出外爾方程。這是個很重要的方程，對今天的數學仍然有重要的影響。外爾的思路和方法還可以向前追溯。歐拉花了很多工夫研究在k為正數時，1/nk的和，發展出重要的泛函方程。黎曼將其推廣，寫下了著名的黎曼ζ函數。這個劃時代的工作,影響了數論的發展。外爾又推廣了黎曼ζ函數的思想到一般的空間，用以研究“聽鼓聲估算面積”這一問題，并最終解決。

能否聽出鼓的面積——這個問題由洛倫茲從物理現象出發，提出問題，最終由外爾解決。這個問題簡潔、自然且有趣，而其解決問題的方法最終引發了幾何學上不少重要的進展。

譜可以視為幾何圖形的量子訊息，事實上可以得到量子訊息和幾何的關系。譜向無窮增大時, 得到局部的幾何訊息，包括曲率、面積元等;譜小時，得到幾何的拓撲或是宏觀訊息。幾何學家對幾何圖形最小的譜也有濃厚的興趣。

關于極小曲面的猜想

我們生活中可以看到很多極小曲面。比如，在盛有肥皂水的盆里，將鐵線放在水中提拉出來，形成的薄薄的肥皂膜，就是極小曲面。而在實驗中，我們可以構造更多不同形象的極小曲面。幾何學家熱衷于了解它們的性質。1977年，我提出一個問題：如何能找到所有完備沒有邊界的極小曲面？經過40年的努力，我的同學米克斯（William Hamilton Meeks III）已經基本解決了這個問題。

我的第二個猜想更困難，到現在還沒全部解決。我提出，可不可以找到三維球中所有緊致極小曲面？我的朋友勞森（Herbert Blaine Lawson，Jr.）構造出一些有趣的例子，被稱作勞森曲面（Lawson Surface）。假如將這個曲面放在四維空間的單位球里，然后從圓心取直線和這個曲面的每一個點聯結起來可得到一個三維錐，即一個三維極小流形。這后來成為廣義相對論中描述時空的重要工具。我解決的另一個重要問題——廣義相對論中的正質量猜想，簡單來說，主要方法就是研究肥皂泡在時空引力下如何變化。

如果把極小流形當作一個鼓面，敲擊后得到一個譜，那么最小的譜等于多少？1974年，我提出，三維球中的極小曲面第一個譜λ1等于2。我與很多朋友討論，他們都被這奇妙的猜測嚇了一跳，卡拉比先生認為我很有洞察力。幾年后，有兩位個數學家證明了三維球中的極小曲面最小的譜在1和2中間，這個答案已經在極小曲面的研究中很有用了。

數學中的“賦比興”

完成上述猜想的過程中，我的基本方法是，比較兩個完全不同的觀念,一個是幾何的觀念，一個是量子力學的觀念，最終得出曲面最小的譜等于2，當然還有待嚴格的證明。

數學是很奇妙的學問，它是一個講推理、講規則的學問，通過比較不同的規則和思想，就可以得到有意義的猜想，這其實是數學研究中的慣用手法。

這與詩經里講究的“賦比興”也有著密切的關系。所謂“比”，即用不同的景物類比，比如楊柳代表離別或者美人的腰肢。講起離別，不免想起《詩經》中的“昔我往矣,楊柳依依”，周邦彥筆下“長條故惹行客。似牽衣待話，別情無極”，以及柳永的名句“楊柳岸，曉風殘月”，而說到美人的腰肢，則憶起張先的“細看諸處好。人人道，柳腰身”，這都是緣于柳條細而柔所作的類比,更有溫庭筠的“柳絲長，春雨細，花外漏聲迢遞”、周邦彥描寫的“長亭路，年去歲來，應折柔條過千尺”……

種種不同的比較，是數學中常用的手段。數學研究者們應該考慮這個思路，不能只做題目，不能看到數字就是數字、看到方程就是方程，它們中間其實是有很多可以比較、可以關聯之處的。

好問題從何而來

好問題從什么地方來，怎樣才能解決它？首先要了解不同的觀點。歷史上，很多大學問的完成，往往是不同學問之間碰撞產生的火花促成的。比如前面提到的外爾，他是一個偉大的數學家，也是一個偉大的物理學家，他在量子力學和幾何學之間搭建了一座橋梁。而因這座橋梁，也孕育出一批很好的數學家，和一個全新的探究路徑。所以我認為，找到自己的方向，是提出好問題的重要途徑。

另外，要解決一個大問題時，往往要有很好的工具。工具的發展是不斷精益求精的過程，每個新工具又促進學問繼續發展。新工具讓我們看到不同現象，提升我們看待問題的深度，促發我們進一步發展工具。工具越多，越能產生更深刻的、更有效的解決問題的方法。每一次工具的進步，都能帶動有意義的、重要的、突破性的學問的發展。

在伽利略時代，他觀測到地球是太陽系里的恒星，引發了牛頓力學的發展。此后，人類看得更遠。到了20世紀初期，我們了解到太陽系外還有銀河系，以及不同的星云。每一次跳躍都是伴隨著“望遠鏡”這個工具的不斷發展。數學上也同樣如此。

比如費馬猜想距今已經有300多年的歷史。30年前，英國大數學家懷爾斯（Andrew Wiles）才解決了這個問題。在他之前，幾百年來，大數學家們都有興趣來解決這個問題。費馬和歐拉解決了n=3時的情形，使用了橢圓曲線的方法。19世紀，德國數學家庫默爾（Ernst Kummer）,以為自己可以解決費馬問題，雖然沒有成功，但他引入了代數中的重要概念，即理想(ideal)，從而帶動一大批其他問題的解決。到了20世紀，出現了更多不同的方法，其中一個是由日本數學家谷山豐（Yutaka Taniyama)、志村五郎(Goro Shimura)，以及法國大數學家韋伊（Andre Weil）提出的谷山-韋伊-志村猜想(Taniyama-Weil-Shimura Conjecture)，成為解決費馬猜想的重要工具，最終由懷爾斯解決了這個300余年的題目。

欣賞數學之美的同時，要欣賞數學美與真背后的規律，通過不斷比較，提出重要的、具有開創性的問題。一個學科重要的問題，必須在不斷學習中，才能慢慢體會。

何為偉大的工作

偉大的數學家都有一套自己對學問的看法（Philosophy），這些系統的、深邃的、嶄新的觀點給古老的數學注入新的活力，產生一系列有意義的問題。正如西方戲劇《浮士德》、中國古典名著《紅樓夢》一樣，都是由不同部分組成，每個部分又自成一格，但無論是牡丹還是綠葉，終須大師提綱挈領，方可將零散的部分組合一番，最終形成一幅瑰麗的圖畫。

我們也要創立一個這樣的綱領。在這綱領的指引下，將各個不同的學科分支放在一起，最終構建出一座宏偉的大廈。

當然，要完成這種宏觀的看法，并非一人一時之工、一人一時之問，有時長達一個世紀，方才看得出這些綱領的威力。

1854年，黎曼給出了幾何學的一個綱領。他通過物理學的等價原理建造了嶄新的內蘊幾何，完成了廣義相對論的重要部分。二十世紀初期，外爾開發李群的表示理論和規范場理論，成為現代理論物理的基礎。韋伊則在上世紀定下用代數幾何作為工具硏究數學的方向，完成了數學歷史上一個偉大猜想——Weil猜想。我的朋友朗蘭茲（Robert Langlands）五十多年前提出著名的Langlands綱領，用群表示理論研究數學，產生了一大批重要的方向和問題。這些工作可謂大氣磅礴。

凡是偉大的工作，都是飽讀文獻、“望盡天涯路”得來的結果。我在20世紀70年代開創現代幾何分析時，主要的信念是用函數和定義的微分方程來描述空間，又通過幾何來了解函數和微分方程。

好問題的幾個特征

數學與文學有相通之處。文學用簡潔的語言描述我們看到的現象。數學也喜歡簡潔。一般來講，假如命題不夠簡潔，則難以深入，當然，深入的問題也不一定很簡潔。總的來說，一個好的數學問題，要有深度、簡潔、漂亮、有趣。

什么叫深度？深度就是解決一個問題后，可以引領新的方向，看到更深遠的圖景。

什么是簡潔、漂亮？在數學上，大自然的美景可以通過很簡單的方程解釋清楚。牛頓的方程、愛因斯坦方程、狄拉克方程，都是極簡潔的，總結了大自然之中很多漂亮的現象，包含了大自然的奧秘。文學用很簡單的語言描述大自然的景色，讓我們產生心理的共鳴。好的數學，也能在我們心里產生共鳴。當年，我聽到卡拉比的講話后，產生很大的震撼。我覺得如果能夠了解他提出的猜想，我將解決數學里一大片問題。

第一流的問題一定要有深度，同時本身很漂亮，很有意義，讓人很有興趣。比如龐加萊猜想、費馬問題、卡拉比猜想等，都是有深度、有趣味、很簡潔的大問題，是一流的問題。

研究數學在于研究數學的深度、意義和內容。幾十年來，我們看到，有些重要的問題被解決了，最出名的是四色問題（Four color problem），即一張地圖只需四種顏色標記就足夠。其解決的最后幾步，是通過計算機完成的。但我們對這個問題本身的意義，其組合意義、幾何意義，還沒有深入了解。在我看來，這個問題其實沒有全部解決，希望以后能夠更深入地了解它。現在很多數學問題，尤其是應用數學，都是計算機算出來的，有時候可能是對的，有時候可能是不對的。這其中最大的問題是，我們對問題的結構、對整個學問的結構并不了解，這些尚不能算是第一流的答案，也不可能在工業界產生引領風騷的一流技術。

對于一些問題來說，趣味性比深度更大。我也做過類似的問題，比如我48年前完成的一篇小文章，證明了一個空間，曲率大于0時，只要不是緊致的，其體積無窮大。雖然不算是個很有深度的問題，“雖小道，必有可觀者焉”。問題只要有趣味，都可以算是一個好問題。

提高找出重要問題的能力

我們希望學生有視野、要用功、要發問，這是很重要的訓練。有視野很重要，跑到高山上以更廣闊的視野看世界。如果沒有工具，就只能遠望，因此掌握工具也很重要。20世紀70年代，我為了解決不同的問題，讀了很多書，包括量子力學、幾何等等，從中獲得了工具,得出了重要的成果。這里我也希望大家做學問的時候，一定要一步一步扎實地走。提出問題是一個最重要的步驟，提出問題之后還要能夠解決它，就算不能解決，也要探索出新的工具、新的方向。

我認為，今天的中國基礎科學想要發展，最主要的是提出問題。我們要培養現在的年輕人，幫助他們提高找出重要問題的能力。問一個有意思的問題，同時解決它，假如解決的方法是前人沒有走過的路，這個過程令人滿足，比成為世界上最富有的人還令人高興。這也是我做學問的感想。

當初完成卡拉比猜想之后,我引用了晏幾道的兩句詞“落花人獨立，微雨燕雙飛”。以此來形容自己的心情。我打算解決卡拉比猜想的時候，沒有人同意這個猜想是對的。“落花人獨立”說的是，我獨立地完成它、欣賞它，覺得很滿意。而“微雨燕雙飛”，是描述我的感覺，覺得自己與大自然融合在一起。

我想，做一流學問的學者都有類似感受，這就像畫家完成一幅漂亮圖畫之后的心境。我也堅持要鼓勵年輕的學者，好好地想，學好的學問、問好的問題，為探索大自然的奧秘努力，為尋找大自然中的規律而探討學問。