你可以不精通數(shù)學(xué)，但當(dāng)你越了解數(shù)學(xué)，

你就越能被它無(wú)限啟發(fā)——

數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活深深交織在一起

《親愛(ài)的數(shù)學(xué)：在無(wú)限的邊緣超越》戴維·達(dá)林 阿格尼喬·班納吉 著 肖瑤 譯 南海出版公司·新經(jīng)典文化

對(duì)于大多數(shù)人來(lái)說(shuō)，有沒(méi)有學(xué)好數(shù)學(xué)好像并不影響我們的生活。因?yàn)槲覀冋J(rèn)識(shí)的數(shù)學(xué)大多來(lái)自課本和試卷，主要的形態(tài)是復(fù)雜的公式、抽象的概念。而在熱愛(ài)數(shù)學(xué)的人眼中，數(shù)學(xué)則是另一種形態(tài)：他們看到我們生活在數(shù)學(xué)構(gòu)造的宇宙中，并在數(shù)學(xué)先驅(qū)們的肩上看到數(shù)學(xué)如何塑造我們的思維。

當(dāng)數(shù)學(xué)沒(méi)有被使用或者沒(méi)有用現(xiàn)實(shí)中的物質(zhì)表示出來(lái)的時(shí)候，它在哪里呢？一個(gè)甜食愛(ài)好者最不想經(jīng)歷的可能就是蛋糕掉落了，而且好像它永遠(yuǎn)是奶油那一側(cè)落地，可這是為什么呢？其實(shí)這是一個(gè)數(shù)學(xué)概率問(wèn)題。有充足的實(shí)驗(yàn)證明，如果蛋糕從桌上或廚房柜臺(tái)上滑落，或者從盤子里掉落，常常更可能是奶油的一面著地。原因很簡(jiǎn)單：通常蛋糕意外掉落的高度大概在腰的高度，它在下落時(shí)有足夠長(zhǎng)的時(shí)間翻轉(zhuǎn)半圈，正好以奶油的一面接觸地面。我們的生活潛伏著數(shù)不勝數(shù)的數(shù)學(xué)案例，了解它們的存在只是起點(diǎn)，因?yàn)閿?shù)學(xué)并不滿足于包圍我們的世界，它的力量也已滲透到我們的頭腦中。

數(shù)學(xué)有時(shí)是反直覺(jué)的。1與1萬(wàn)億，哪一個(gè)更接近無(wú)限？大部分人會(huì)誤以為1萬(wàn)億或1億億這樣大的數(shù)字，在某種程度上比十或千更接近無(wú)窮。實(shí)際上，不管我們想到一個(gè)多大的數(shù)字，它與無(wú)限的距離與數(shù)字1離無(wú)限的距離一樣遠(yuǎn)，就好像人類的跳高紀(jì)錄之于地球到太陽(yáng)的距離——近乎為無(wú)意義。

數(shù)學(xué)是奇怪的。在數(shù)學(xué)世界里，數(shù)字可以無(wú)限增長(zhǎng)——“無(wú)限”還可以有諸多不同的形式。質(zhì)數(shù)可以幫助蟬生存下來(lái)。一個(gè)（數(shù)學(xué)上假想的）球可以被“切割”，再“重組”成原來(lái)的兩倍甚至幾百萬(wàn)倍大的球，并且沒(méi)有任何空隙。有一些形狀，其分?jǐn)?shù)維數(shù)和曲線能足足填滿整個(gè)平面。在聽(tīng)一次沉悶的講座時(shí)，物理學(xué)家斯坦尼斯瓦夫·烏拉姆寫起了數(shù)字。他從0開(kāi)始，按螺旋方式書寫，然后圈出了所有的質(zhì)數(shù)，發(fā)現(xiàn)大部分質(zhì)數(shù)位于一條長(zhǎng)對(duì)角線上——這個(gè)事實(shí)至今還沒(méi)有被充分地解釋。

我們常遺忘數(shù)學(xué)的奇妙，因?yàn)槲覀兞?xí)慣把數(shù)學(xué)等同于在學(xué)校和日常生活中用到的數(shù)字計(jì)算。但出人意料的是，我們的大腦很擅長(zhǎng)數(shù)學(xué)思維，如果我們?cè)敢獾脑挘材軌蛲瓿墒謴?fù)雜和抽象的數(shù)學(xué)計(jì)算。畢竟，早在幾萬(wàn)年或幾十萬(wàn)年前，我們的祖先無(wú)須解微分方程和學(xué)習(xí)抽象代數(shù)，也能活得足夠長(zhǎng)，并把基因傳給下一代。當(dāng)他們尋找下一頓飽腹之餐或棲身之所時(shí)，沉思高維幾何或者質(zhì)數(shù)理論也沒(méi)有任何幫助。但事實(shí)上，我們的大腦生來(lái)就有潛力去做這些事，并且隨著時(shí)間流逝，還會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)宇宙中越來(lái)越多的真理。進(jìn)化給了我們這項(xiàng)技能：但這是如何給的，為什么？為什么我們?nèi)祟惾绱松瞄L(zhǎng)做一些看起來(lái)只不過(guò)是智力游戲的事情？

數(shù)學(xué)其實(shí)與現(xiàn)實(shí)生活深深交織在一起。挖掘得足夠深，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)那些看似構(gòu)成物質(zhì)或能量的細(xì)小單位（例如電子或光子）其實(shí)是非物質(zhì)性質(zhì)的概率波，而我們得到的只是一些“幽靈似的名片”——形式略復(fù)雜但很美麗的數(shù)學(xué)方程式。某種程度上，數(shù)學(xué)支撐著我們周圍的物理世界，構(gòu)建了一個(gè)隱形的基礎(chǔ)設(shè)施。但數(shù)學(xué)又超離現(xiàn)實(shí)，進(jìn)入可能性的抽象領(lǐng)域，也許永遠(yuǎn)在進(jìn)行純粹的思維練習(xí)。

在本書中，我們介紹了數(shù)學(xué)中一些不同尋常又妙趣橫生的領(lǐng)域，包括那些即將出現(xiàn)的令人興奮的新發(fā)展。某些情況下，它們與科學(xué)技術(shù)有些聯(lián)系，如量子物理學(xué)、宇宙學(xué)、量子計(jì)算機(jī)學(xué)等等。在其他情況下，它們迄今還是對(duì)純數(shù)學(xué)領(lǐng)域的研究，純粹是對(duì)僅存在于頭腦中的陌生世界的冒險(xiǎn)。對(duì)這些內(nèi)容，我們不會(huì)因?yàn)閺?fù)雜抽象就選擇回避。在向普通讀者解釋數(shù)學(xué)時(shí)，一個(gè)極大的挑戰(zhàn)便是數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)生活距離太遠(yuǎn)。但最終，我們相信總能找到一些辦法，將今天數(shù)學(xué)前沿領(lǐng)域探索的拓荒者們所做的事與熟悉的世界聯(lián)系起來(lái)，哪怕我們的描述做不到像學(xué)者理想選擇的那樣精確。也許可以這樣說(shuō)，有些事情不論如何復(fù)雜晦澀，如果不能通過(guò)合理的解釋讓一個(gè)正常智力的人理解，那解釋的人就要去提升自己的理解水平了。

這本書的寫作有點(diǎn)不同尋常。我們中的一位作者阿格尼喬是才華橫溢的年輕數(shù)學(xué)家，智商超過(guò)162的神童。在寫本書時(shí)，他剛剛在匈牙利完成2017年國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽的備戰(zhàn)。從12歲開(kāi)始，阿格尼喬就跟我學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和科學(xué)，三年后我們決定一起寫這本書。

我們坐在一起構(gòu)思要涉及的話題。例如我想到了關(guān)于高維空間、數(shù)學(xué)哲學(xué)、音樂(lè)中的數(shù)學(xué)等，阿格尼喬則非常想介紹大數(shù)（他的興趣領(lǐng)域）、計(jì)算法和質(zhì)數(shù)等。從一開(kāi)始我們就決定選擇數(shù)學(xué)最不尋常、最奇特的一些領(lǐng)域來(lái)入手，并盡可能地與現(xiàn)實(shí)世界的問(wèn)題及日常經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系起來(lái)。我們還約定不因?yàn)槟承┰掝}晦澀難懂就回避它，而把它看成某種“真言”，你如果不能用通俗的語(yǔ)言去解釋，那就是沒(méi)有真正理解它。希望這本書能告訴你：你可以不精通數(shù)學(xué)，但當(dāng)你越了解數(shù)學(xué)，你就越能被它無(wú)限啟發(fā)。

（作者為曼徹斯特大學(xué)天文學(xué)博士、科學(xué)作家、音樂(lè)家）